ARQUÍMEDES Y EL VOLUMEN DE LA ESFERA
Muchos conocen al sabio Arquímedes, especialmente por las palancas. El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que
Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a
demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos
tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le
impresionó esto a él mismo (tal vez porque en ese entonces se hablaba de los cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba se grabase esta figura en
recuerdo de la mejor de sus ideas.
Veamos cómo llegó a este interesante descubrimiento. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular
recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera.
Algo parecido al dibujo que te mostramos
Arquímedes cortó las tres figuras por un
plano paralelo a la base del cilindro y el cono y se preguntó cómo serían las
secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono.
En el cilindro se obtiene un
círculo de radio R (no olvides que el radio es la mitad del diámetro d). En la esfera también será un círculo, pero su radio
dependerá de la distancia d. Mirando la figura siguiente y acordándote del
teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección
es r, entonces r2 + d2=R2.
En el cono la sección también será un
círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar mirando a la figura
siguiente
Como el radio de apertura del cono es de
45º, resulta que el radio es d. Así
Sección cilindro = PR2
= P(r2 + d2) = Pr2 + Pd2 =Sección semiesfera +
Sección cono
Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas
cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres
figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas tendremos
Rebanada en cilindro a altura d =
Rebanada en semiesfera + Rebanada en cono. Si para cada altura d se tiene esta
relación, parece bastante claro que
Volumen cilindro
= Volumen semiesfera + Volumen cono
Pero, como
Arquímedes muy bien sabía,
Volumen cilindro=
PR3;
Volumen cono= PR3/3 y así resultaba
Volumen semiesfera =
2PR3/3 y Volumen
esfera = 4PR3/3.
Cuando Cicerón fue nombrado
cuestor en Sicilia (75a. de C.), descubrió, gracias a la inscripción que
Arquímedes había mandado grabar, la tumba de este gran sabio de la antiguedad que sus paisanos de
Siracusa habían perdido de vista. Cicerón la restauró, pero más tarde se volvió
a perder. Hace unos pocos años se encontraron dos tumbas que se disputan la
autenticidad...
La esfera puede considerarse
como compuesta por un montón de pirámides de vértice el centro de la esfera y
base de área muy pequeña S sobre la esfera. Esto da una idea de lo que puede
valer el área de la superficie esférica. El volumen de la esfera es 4PR3/3. El de cada pirámide
será RS/3 (pues la altura de cada pirámide es R). Sumando todas las pirámides y
sacando R/3 factor común resulta
4PR3/3 = Volumen esfera = Suma volúmenes pirámides = Area esfera x R/3
y así
Area esfera = 4PR2
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